6大地狱级的世界数学难题世界上最诡异的数学题( 三 )

已知所有非平凡零都有0到1之间的实部，称为临界带。结果是，如果s是一个非平凡零点（即ζ(s) = 0且s不是负偶数），那么对于一些值y ， s = 1/2 + iy（即s的实部是1/2），这就是所谓的临界线。

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伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想
给定一条?上的椭圆曲线E ，其代数秩总是与解析秩重合吗？
椭圆曲线E ，为方程y^2=x^3+Ax+B的解集，且判别式?=-16（4A^3+ 27B^B）≠0 。这个约束条件保证了曲线足够好。

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现在我们要求x和y是有理的，从而限制了椭圆曲线的解。这就是我们说的?上的曲线。现在我们可以用这条曲线E来组成一群E（?）。我们做了一个很简洁的二元运算：给定两个点，我们画一条直线通过它们，找到与E的第三个交点并将它反射到x轴上。
【6大地狱级的世界数学难题世界上最诡异的数学题】

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为了使它完全成为一群，我们需要在无穷远处添加一个点作为群的标识。
第一个自然的问题是，我们可以推断出E（?）的结构是什么？
莫德尔和威尔（Mordell and Weil）的结果告诉我们， E（?）是有限生成的，可以写成：

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其中E（?）_tors是E（?）中所有有有限顺序的点。r被称为曲线E的代数秩。
现在我们有了前半部分。现在我们需要理解解析秩。
现在让我们进一步限制解，考虑在有限域p上，其中p是一个素数，我们定义以下值：

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最后是E在s处的L级数：

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回忆一下， ?是椭圆曲线的判别式。那么我们可以将L展开成一个泰勒级数，围绕s = 1展开：

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这里， r_an是曲线的解析秩。
终于！我们可以把伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想简单地写成：

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这些都意味着什么呢？结果是，计算代数秩相当困难，而解析秩稍微容易一些。这个猜想在解析领域和代数领域之间架起了一座桥梁。
杨-米尔斯存在性与质量间隙
给定任何紧凑的简单规范群G ，在?? （?^4）上，是否存在一个非平凡量子杨-米尔斯理论，具有质量间隙 Δ > 0？

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