矩阵和向量乘法矩阵向量乘法

本文是吴恩达《机器学习》第15篇视频笔记，对应第1周第15段视频。
“Linear Algebra review(optional)——Matrix-vector multiplication”
上一节讨论了矩阵的加法、矩阵和标量乘法；此外，矩阵还可以乘以矩阵。本节讨论了一点特殊情况，即矩阵和向量乘法。
一个示例下图，让一个3×2矩阵乘以2维列向量会得到什么结果？

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操作规则如下图所示，

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从上图可以看出，矩阵和向量的乘法规则更有趣。一个矩阵和一个向量乘得到一个新的列向量。列向量的维数是矩阵的行数，等式左侧的矩阵和向量的形状也更有趣。矩阵的列数必须等于向量的维数。只有这样，矩阵和向量的乘法才能进行。上面的例子，一个3×2矩阵和一个2×1向量相乘，得到一个3×1的向量。
矩阵和向量相乘的过程 【矩阵和向量乘法矩阵向量乘法】抽象上述特例如下图所示：

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一个m×n乘一个矩阵n×1这里需要注意的是，矩阵列数必须等于向量行数才能乘以，结果是m×1的向量。
此外，我们还可以看到，它们的顺序在制作矩阵和向量乘法时也非常重要。列向量和矩阵乘法必须在前面，列向量必须在后面。

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那么，规定这种矩阵和向量乘法有什么用呢？
以卖房为例。假设我有四套房，每套房的面积都不一样，我已经确定了房子面积和房价之间的线性模型。
如下图：

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如上图所示，如果将左侧四套房的面积替换为右侧公式，则必须分别获得四套房的价格。如果我们用刚才提到的矩阵和向量乘法来表示上述问题，写出来的公式会非常漂亮。如下图所示：

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我们找出模型中的两个参数，形成一个列向量。然后，因为-40参数对应1，而0.25对应的是x，所以得到一个4×2矩阵，矩阵的第一列是1. 就会得到上面图中下半部分的这样的一个矩阵与向量乘法的式子，再利用前面讲的矩阵与向量乘法的运算规则，可以用一个式子就表示出4套房子的售价的运算，厉害吧？
有些学生可能会觉得这种写作是多余的，更麻烦。需要注意的是，现在我们的基本操作是通过计算机实现的。如果我们用代码写这个过程，那就更容易了。这样的事情可以用一行代码完成，房子数量的增加不会影响程序的结构，非常方便。如果没有这样的规定，我们可能需要它for在代码中实现循环有点麻烦。
下一步将介绍更一般的矩阵和矩阵乘法。

矩阵和向量乘法 矩阵向量乘法

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