数学史上有趣的小故事数学历史故事( 三 )

· g_uv是从(3+1)维时空的度量张量；
· T_uv是能量-动量-应力张量，表示了物质分布和运动状况。
· G是引力常数，
· c是真空中光速。
整个方程式的意义是：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）。
我们知道爱氏广义相对论性的模型建立的核心内容是爱因斯坦场方程的解。在爱因斯坦场方程和一个附加描述物质属性的方程（类似于麦克斯韦方程组和介质的本构方程）同时已知的前提下，爱因斯坦场方程的解包含有一个确定的半黎曼流形，以及一个在这个流形上定义好的物质场。
物质和时空几何一定满足爱因斯坦场方程，因此特别地物质的能量-动量张量的协变散度一定为零。当然，物质本身还需要满足描述其属性的附加方程。因此可以将爱因斯坦场方程的解简单理解为一个由广义相对论制约的宇宙模型，其内部的物质还同时满足附加的物理定律。
爱因斯坦场方程是一个二阶非线性的偏微分方程组，因此想要求得其精确解十分困难。尽管如此，仍有相当数量的精确解被求得，但仅有一些具有物理上的直接应用。
其中最著名的精确解，同时也是从物理角度来看最令人感兴趣的解包括史瓦西解、雷斯勒-诺斯特朗姆解、克尔解，每一个解都对应着特定类型的黑洞模型；以及弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克解和德西特宇宙，每一个解都对应着一个膨胀的宇宙模型。
纯粹理论上比较有趣的精确解还包括哥德尔宇宙（暗示了在弯曲时空中进行时间旅行的可能性）、Taub-NUT解（一种均匀却又各向异性的宇宙模型）、反德西特空间（近年来由于超弦理论中的马尔达西那假说的提出而变得知名）。
寻找爱因斯坦场方程的精确解并非易事，因此在更多场合下爱因斯坦场方程的解是通过计算机采用数值积分的方法，或者对精确解作微扰求得的近似解。
在数值相对论这一分支中，人们使用高性能的计算机来数值模拟时空几何，以用于数值求解两个黑洞碰撞等有趣场合下的爱因斯坦场方程。原则上只要计算机的运算能力足够强大，数值相对论的方法就可以应用到任何系统中，从而有可能对裸奇点等基础问题做出解答。另一种求得近似解的方法是借助于像线性化引力和后牛顿力学近似方法这样的微扰理论，这两种微扰方法都是由爱因斯坦发展的，其中后者为求解时空内分布的物体速度远小于光速时的时空几何提供了系统的方法。
后牛顿力学近似方法是一系列展开项，第一项对应着牛顿引力，而后面的微扰项对应着广义相对论理论对牛顿力学所作的修正。这种近似展开的一种扩展方法是参数化后牛顿形式，应用这种方法可以量化地比较广义相对论和其替代理论的预言结果。
为什么爱氏的场方程的解这么难解，而且解方程的时候往往要以特殊的情况下，才能有解。而且解还只有少部分能直接应用。大多都是数学游戏。在我看来，最重要是“非线性”三个字。
也就是非线性使得场方程下的真实宇宙变的不规则，不流畅，不规整。
非线性是导致数值解爱因斯坦场方程非常困难的根本原因。数值解非线性偏微分方程本身是个大问题。我的理解是非线性系统的解对初始条件十分敏感。著名的例子就是“蝴蝶效应”：当初始条件无法严格确定的时候，系统的长期演化是不可预测的。即便对于那些封闭的非线性系统，当初始条件有偏差时，这个偏差通常也会随时间以指数速度放大，导致初条件失之毫厘而结果谬以千里。
导致数值解爱因斯坦场方程成为极端难题的是非线性系统的共性与广义相对论的个性的结合。爱因斯坦场方程的解目前大多是特殊解，即给定特殊条件解出的解，不具有一般性。这个解的场描述的不是流体的密度、电磁场的强度之类的普通角色，而是时空的几何结构。在广义相对论中，不但物质与能量的发展变化是统一的，物质能量与时空的演化也是一体的。

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