勾股定理16种证明方法( 三 )

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE，∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S=S.
C=S+S+S+S+S, a=S+S b=S+S+S，
又∵ S=S，S=S，S=S，
∴a+b=S+S+S+S+S
=S+S+S+S+S
=c，
即 a+b=c.

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【证法11】（利用切割线定理证明）
在 RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AC=AExAD
=(AB+BE)(AB-BD)
=(c+a)(c-a)
= c-a，
即b=c-a，∴ a+b=c.

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【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
ABxDC=ADxBC+ACxBD，
∵ AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，
∴ AB=BC+AC，即 c=a+b.

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【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)
= CE+CD= r + r = 2r,
即 a+b-c=2r，
∴ a+b=2r+c.
∴(a+b)=(2r+c)
即a+b+2ab=4(r+rc)+c
∵ S△ABE=1/2ab，
∴ 2ab=4S△ABE，
又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r
=1/2(2r+c+c)r=r+rc，
∴4(r+rc)=4S△ABC，
∴4(r+rc= 2ab
∴a+b+2ab=2ab+c，
∴ a+b=c.

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【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设a+b不等于c.，即假设 AC+BC不等于AB，则由 AB=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD
22可知 AC不等于ABxAD，或者 BC不等于ABxBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90o，
∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC+BC=AB的假设不能成立.
∴ a+b=c

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【证法15】（辛卜松证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD
(a+b)=a+b+2ab；
把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分，则正方形ABCD的面积为
∴ (a+b)=4x1/2ab+c=2ab+c,
∴ a+b+2ab=2ab+c.
∴a+b=c.

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【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴(b+a) DM = EM―ED = (b+a)―a = b.
又∵ ∠CMD = 90o，CM = a，∠AED = 90o，AE = b，