比如说我们学的加速度都是位置对时间的二阶微分，如果回顾描述一条弯曲曲线会用到哪些几何的时候，你会发现人家都是描述位置对距离的二阶微分 。
而这样一个知识其实在我们的日常生活里都是这样的 。比如你如果描述从北京到上海的 G3、G4 高速是怎么描述的？不是给出坐标相对时间的变化，而从来都是车所在的位置相对于起点多少公里处，你告诉我顺着这条路多少公里处就行了，我就能找到你了 。所以描述一条曲线正确的参数是这条曲线的长，这样的好处是如果位置相对于轨迹弧长变化的话，你的加速度和弧长本身是垂直的，永远是向心加速度，或者匀速圆周运动告诉我们，加速度和曲率成反比 。如果你用这样一个二阶微分公式来写加速度的话，加速度本身就等于轨迹那一点的曲率 。于是乎描述加速度这件事情又变成描述曲线怎么弯曲的了，我们需要学的是描述轨迹或者存在的曲面，或者那个空间是怎么弯曲的学问了 。
描述曲线怎么弯曲运动以及描述曲面怎么弯曲，这样的一个几何学问又是来自于我们日常生活，尤其是像法国和德国这种地方，生活在丘陵地带的地方，他们的科学家很早做大地测量的时候就知道大地是弯的，怎么在地图里把弯的事情都给表达清楚，就是他们在实践中所创造的学问 。据说那个数学大神，被称为数学第一人的高斯，就是一直在忙着测德国地形如何弯曲的过程中发展出了测地线这个学问，在这个过程中接到了他家里派人，匆匆忙忙赶到工作地点送信的，说您赶紧回家吧，您夫人不行了 。高斯竟然说，再等一会儿，我马上就完 。
在这样一个过程中，高斯、黎曼他们完成了对弯曲空间如何描述的这样一门学问，当然这门学问如何描述弯曲，还有牛顿，以及还有一个法国 16 岁的少年克莱洛，写出了二维平面曲线和三维空间曲线 。
1729 年克莱洛写出这样公式的时候仅仅 16 岁，但是在论文后面写出了一个要求，我要当院士 。16 岁是未成年人，不能让他当院士，所以就被拒绝了 。两年以后，他又写出了三维空间曲线曲率的表达式，就是我们学经典力学里面三维空间标架，切线、法线和第二个法线标架，就是克莱洛 18 岁的时候给我们引进的，他在论文后面又写出这样的要求，我要当院士 。大家实在是没脸再拒绝他了，所以克莱洛 18 岁当上的院士 。
这些曲率的公式就不给大家讲了，但是越弯曲意味着蓄的能量越大，这一点我们的老祖宗早就告诉我们了，那就是弓 。弓拉得越弯力越大，曲率和能量密度的关系我们应该是知道的 。爱因斯坦他们后来得到相对论场方程更多借助于材料科学和结构力学方面的知识，就不跟大家讲细节了 。
现在我们知道，我们描述时空弯曲就是描述加速度，描述引力也是描述加速度 。加速度、引力、曲率、弯曲时空，这些东西凑到一起了，现在我们只需要学会给定弯曲时空，我们知道弯曲时空两点之间距离，就能求出它的曲率，这是爱因斯坦要学的学问 。
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这一套学问爱因斯坦会不会呢？爱因斯坦不会，这也正常，谁的学问都是从不会到会慢慢学的 。但是爱因斯坦不一样，爱因斯坦是贵人，有人相助，谁呢？爱因斯坦的大学同学马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann），给爱因斯坦安排了在专利局的工作，思考火车、钟表和电报，于是有了狭义相对论 。
爱因斯坦从 1907 年差不多干到 1912 年、1913 年，有很多种方案，最后都不行 。到这个时候才明白了
要描述引力，需要有能够描述弯曲、加速度、曲率、弯曲时空的曲率的数学 。
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