如果你要想从几何的角度推广这些理论的话，就必须有普适性、一般性 。四维空间几何的理论，要乘上一个一般的对称矩阵，叫度规的一个东西，就是如何规定空间里面两点距离的一个东西，这是所有广义相对论的关键 。
请大家记住，物理学是几何学，懂得这个道理的人，他就知道，量子力学表现的是几何学，因为量子这个词就出现在 1854 年黎曼的那篇著名的几何学论文的第一句的最后一个词，而那里面第一句所表现的思想就是空间的量子化，几何量子化 。而到了1924年，玻色就是用相空间的几何量子化，得出来新的黑体辐射公式的推导 。而爱因斯坦是熟悉这一套理论的，接下来就有了玻色-爱因斯坦凝聚，这些在我们学起来都是非常艰难的，好像是不相关的学问，他们其实是一体的 。
推广相对论
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我们看爱因斯坦是怎么推广相对论的 。
- 引力质量与惯性质量等价；
- 参照框架的相对加速度等价于一个均匀引力场 。
方程左边是加速度，右边是引力势 。如果加速度是相对于一个匀加速的参照系，左边就得加个常数加速度，另一边也得加上同样的项，而这个常数就是恒定、均衡的，空间均匀的引力场，参照框架的相对加速度，等价于一个均匀的引力场，这个引力场和加速度凑到一起了 。
爱因斯坦说出事了，因为你回顾一下牛顿三定律，第一句话说的是什么？说的是外力等于零的情况下，这个运动是惯性的，可是现在我的加速度和引力分不开了，什么叫加速度等于零的匀速直线运动？爱因斯坦觉得必须把惯性运动这个概念给修正 。所以在广义相对论里面，惯性的定义变成了除了引力之外的其他力等于零的情况下的运动叫惯性运动，也就是说从高空往下落的过程中这是惯性运动 。
当然做这样的惯性运动也叫自由落体，大家知道自由的下落，说自由下落这个过程是非常 happy 的过程，一个人从高空坠落这个过程是非常 happy 的，什么时候让你感觉到你不 happy 呢，是大地接着你，不让你堕落的时候，痛苦才来的 。
据说爱因斯坦 1913 年某一天下午才想明白，原来自由下落的过程是非常 happy 的过程，是感觉不到引力的过程，这个过程是可以当做惯性的，也就是说我可以把惯性运动的概念修订为：
除了引力之外的所有力为零下的运动状态叫惯性 。
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有了这些认识，原来是说要描述引力的，描述弯曲空间的事情变成如何描述加速度了 。怎么描述加速度？我们回忆一下中学物理 。有一个简单的例子，匀加速运动 。大家想象一下，一辆车从你家地里开过之后，警察来了能看到什么？看到车轱辘印子，好的警察就要通过车轱辘印子判断你这个车是怎么开的 。所以说人家很早就有这个思想，一个几何体和一个轨迹都要从他自身去找到描述，不能从外在的世界找到描述 。我们知道圆是一维闭合的几何体，我们相当多的同学还有一个特别错误的概念，以为圆有圆心 。我再提醒大家一下，圆没有圆心，圆心是引入的辅助的概念 。
工人在一个地方要画个圆圈的时候，或者开车的时候画圆圈的时候，只要方向盘打个不变的角度，车会自动画出来圆圈，没有圆心，这是人家西方几何里早就有的思想 。有了这些思想你再学人家相对论怎么描述的时候，突然就明白了 。
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